В каких единицах измеряется погрешность. Полная погрешность прямых измерений

Термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов . При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность . Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал , доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

• Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

• Средняя квадратическая погрешность:

• Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

• Абсолютная погрешность - ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X m e a s . При этом равенство:

ΔX = | X t r u e − X m e a s | ,

где X t r u e - истинное значение, а X m e a s - измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X m e a s распределена по нормальному закону , то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение . Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

• Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах .

• Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

где X n - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

Если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X n определяется равным верхнему пределу измерений;
- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

• Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
• Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
• Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

• Случайная погрешность - погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
• Систематическая погрешность - погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
• Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
• Грубая погрешность (промах) - погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

• Погрешность прямых измерений
• Погрешность косвенных измерений - погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F (x 1 ,x 2 ...x n ) , где x i - непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δx i , тогда:

См. также

• Измерение физических величин
• Система автоматизированного сбора данных со счетчиков по радиоканалу

Литература

• Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.

• Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. - М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. - 704 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

ВВЕДЕНИЕ

Любые измерения, как бы тщательно их ни выполняли, сопровождаются погрешностями (ошибками), т. е. отклонениями измеренных величин от их истинного значения. Это объясняется тем, что в процессе измерений непрерывно меняются условия: состояние внешней среды, мерного прибора и измеряемого объекта, а также внимание исполнителя. Поэтому при измерении величины всегда получают ее приближенное значение, точность которого требуется оценить. Возникает и другая задача: выбрать прибор, условия и методику, чтобы выполнить измерения с заданной точностью. Эти задачи помогает решить теория ошибок, которая изучает законы распределения погрешностей, устанавливает критерии оценки и допуски к точности измерений, способы определения вероятнейшего значения определяемой величины, правила предвычисления ожидаемых точностей.

12.1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величиной.
Все величины, с которыми мы имеем дело, подразделяют на измеренные и вычисленные. Измеренной величиной называют ее приближенное значение, найденное путем сравнения с однородной единицей меры. Так, последовательно укладывая землемерную ленту по заданному направлению и подсчитывая число уложений, находят приближенное значение длины участка.
Вычисленной величиной называют ее значение, определенное по другим измеренным величинам, функционально с ней связанным. Например, площадь участка прямоугольной формы есть произведение его измеренных длины и ширины.
Для обнаружения промахов (грубых ошибок) и повышения точности результатов одну и ту же величину измеряют несколько раз. По точности такие измерения подразделяют на равноточные и неравноточные. Равноточные - однородные многократные результаты измерения одной и той же величины, выполненные одним и тем же прибором (или разными приборами одного и того же класса точности), одинаковыми способом и числом приемов, в идентичных условиях. Неравноточные - измерения, выполненные при несоблюдении условий равноточности.
При математической обработке результатов измерений большое значение имеет число измеренных величин. Например, чтобы получить величину каждого угла треугольника, достаточно измерить лишь два из них - это и будет необходимое число величин. В общем случае для решения любой топографо-геодезической задачи необходимо измерить некоторое минимальное число величин, обеспечивающее решение поставленной задачи. Их называют числом необходимых величин или измерений. Но чтобы судить о качестве измерений, проконтролировать их правильность и повысить точность результата, измеряют и третий угол треугольника - избыточный . Числом избыточных величин (k ) называют разность между числом всех измеренных величин (п ) и числом необходимых величин (t ):

k = п - t

В топографо-геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны. Они позволяют обнаруживать ошибки (погрешности) в измерениях и вычислениях и повышают точность определяемых величин.

По физическому исполнению измерения могут быть прямые, косвенные и дистанционные.
Прямые измерения являются простейшими и в историческом плане первыми видами измерений, например, измерение длин линий землемерной лентой или рулеткой.
Косвенные измерения основываются на использовании некоторых математических зависимостей между искомыми и непосредственно измеряемыми величинами. Например, площадь прямоугольника на местности определяют, измерив длины его сторон.
Дистанционные измерения основываются на использовании ряда физических процессов и явлений и, как правило, связаны с использованием современных технических средств: светодальномеров, электронных тахеометров, фототеодолитов и т.д.

Измерительные приборы, используемые в топографо-геодезическом производстве, можно разделить на три основных класса :

• высокоточные (прецизионные);
• точные;
• технические.

12.2. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

При многократном измерении одной и той же величины каждый раз получают несколько отличающиеся результаты, как по абсолютной величине, так и по знакам, каким бы опытом не обладал исполнитель и какими бы высокоточными приборами он не пользовался.
Погрешности различают: грубые, систематические и случайные.
Появление грубых погрешностей (промахов ) связано с серьезными ошибками при производстве измерительных работ. Эти ошибки легко выявляются и устраняются в результате контроля измерений.
Систематические погрешности входят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Они обусловлены влиянием конструкции измерительных приборов, погрешностями градуировки их шкал, износом и т. д. (инструментальные погрешности) иливозникают из-за недоучета условий измерений и закономерностей их изменений, приближенности некоторых формул и др. (методические погрешности). Систематические погрешности делятся на постоянные (неизменные по знаку и вели чине) и переменные (изменяющие свою величину от одного измерения к другому по определенному закону).
Такие погрешности заранее определимы и могут быть сведены к необходимому минимуму путем введения соответствующих поправок.
Например , заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний, влияние температуры воздуха и атмосферного давления при определении длин линий светодальномерами или электронными тахеометрами, заранее можно учесть влияние рефракции атмосферы и т. д.
Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями. Эти погрешности неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел. Их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.
Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы, выбирают более совершенные приборы, методы измерений и осуществляют тщательное их производство.
Сопоставляя ряды случайных погрешностей равноточных измерений можно обнаружить, что они обладают следующими свойствами:
а) для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела;
б) малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших;
в) положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные;
г) среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Распределение ошибок, соответствующее указанным свойствам, называется нормальным (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Кривая нормального распределения случайных погрешностей Гаусса

Разность между результатом измерения некоторой величины (l ) и ее истинным значением (X ) называют абсолютной (истинной) погрешностью .

Δ = l - X

Истинное (абсолютно точное) значение измеряемой величины получить невозможно, даже используя приборы самой высокой точности и самую совершенную методику измерений. Лишь в отдельных случаях может быть известно теоретическое значение величины. Накопление погрешностей приводит к образованию расхождений между результатами измерений и действительными их значениями.
Разность суммы практически измеренных (или вычисленных) величин и теоретического ее значения называется невязкой . Например, теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180º, а сумма измеренных углов оказалась равной 180º02"; тогда погрешность суммы измеренных углов составит +0º02". Эта погрешность будет угловой невязкой треугольника.
Абсолютная погрешность не является, полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м , измерена землемерной лентой с ошибкой 0,5 м , а отрезок длиною 200 м - с ошибкой 0,2 м , то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому вводят понятие относительной погрешности :

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к измеренной величине l называют относительной погрешностью .

Относительные погрешности всегда выражаются дробью с числителем, равным единице (аликвотная дробь). Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет

а второго

12.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть некоторая величина с истинным значением X измерена равноточно n раз и получены результаты: l 1 , l 2 , l 3 , … l i (i = 1, 2, 3, … n ), которые часто называют рядом измерений. Требуется найти наиболее надежное значение измеренной величины, которое называют вероятнейшим , и оценить точность результата.
В теории погрешностей наиболее вероятным значением для ряда равноточных результатов измерений принимают среднее арифметическое , т. е.

(12.1)

При отсутствии систематических погрешностей арифметическое среднее по мере неограниченного возрастания числа измерений стремится к истинному значению измеряемой величины.
Чтобы усилить влияние более крупных погрешностей на результат оценки точности ряда измерений, пользуются среднеквадратической погрешностью (СКП ). Если известно истинное значение измеряемой величины, а систематическая погрешность пренебрежимо мала, то средняя квадратическая погрешность (m ) отдельного результата равноточных измерений определяется по формуле Гаусса:

m = (12.2) ,

где Δ i - истинная погрешность.

В геодезической практике истинное значение измеряемой величины в большинстве случаев заранее неизвестно. Тогда среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений вычисляют по вероятнейшим погрешностям (δ ) отдельных результатов измерений (l i ); по формуле Бесселя:

m = (12.3)

Где вероятнейшие погрешности (δ i ) определяются как отклонение результатов измерений от арифметического среднего

δ i = l i - µ

Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность (m ), например 70°05" ± 1". Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1". Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

• больше средней квадратической m в 32 случаях из 100;
• больше удвоенной средней квадратической 2m в 5 случаях из 100;
• больше утроенной средней квадратической 3m в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

Δ пред. = 3m

Предельной погрешностью называется такое значение случайной погрешности, появление которого при данных условиях измерений маловероятно.

В качестве предельной также принимают среднюю квадратическую погрешность, равную

Δ пред = 2,5m ,

С вероятностью ошибки, равной порядка 1%.

Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых

m S 2 = m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + .....+ m n 2

В частном случае, когда m 1 = m 2 = m 3 = m n = m для определения средней квадратической погрешности арифметической средней пользуются формулой

m S =

Средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Пример.
Если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит

m угл = 30 " = ±1,5"

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего
(точность определения среднего арифметического)

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (m µ ) в раз меньше среднего квадратического одного измерения.

Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений .

Например , требуется определить величину угла с точностью ± 15 секунд при наличии 30-секундного теодолита.

Если измерить угол 4 раза (n ) и определить арифметическое среднее, то средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (m µ ) составит ± 15 секунд.

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего ( m µ ) показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.

Пример
Произведено 5-кратное измерение длины одной линии.
По результатам измерений вычислить: вероятнейшее значение ее длины L (среднее арифметическое); вероятнейшие погрешности (отклонения от среднего арифметического); среднюю квадратическую погрешность одного измерения m ; точность определения среднего арифметического mµ , и вероятнейшее значение длины линии с учетом среднеквадратической погрешности среднего арифметического (L ).

Обработка результатов измерения расстояния (пример)

Таблица 12.1.

Номер измерения	Результат измерения, м	Вероятнейшие погрешности d i , см	Квадрат вероятнейшей погрешности, см 2	Характеристика точности
				m =±= ±19 см m µ = 19 см/= ±8 см
		Σd i = 0	[Σd i ]2 = 1446	L = (980,65 ±0,08) м

12.4. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.
Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения . Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.
Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений, проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей .
Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно m и µ , то можно записать соотношение пропорциональности:

Например, если µ средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m - соответственно, одного измерения, то, как следует из

можно записать:

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения .

Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.

При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.

12.5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛЕВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ОБРАБОТКЕ

Все материалы геодезических измерений состоят из полевой документации, а также документации вычислительных и графических работ. Многолетний опыт производства геодезических измерений и их обработки позволил разработать правила ведения этой документации.

Оформление полевых документов

К полевым документам относят материалы поверок геодезических приборов, журналы измерений и бланки специальной формы, абрисы, пикетажные журналы. Вся полевая документация считается действительной только в подлиннике. Она составляется в единственном экземпляре и в случае утраты может быть восстановлена лишь повторными измерениями, что практически не всегда возможно.

Правила ведения полевых журналов сводятся к следующим.

1. Заполнять полевые журналы следует аккуратно, все цифры и буквы должны быть записаны четко и разборчиво.
2. Исправление цифр и их подчистка, а также написание цифры по цифре не допускаются.
3. Ошибочные записи отсчетов зачеркиваются одной чертой и справа указывается «ошибочно» или «описка», а правильные результаты надписываются сверху.
4. Все записи в журналах ведутся простым карандашом средней твердости, чернилами или шариковой ручкой; использование для этого химических или цветных карандашей не рекомендуется.
5. При выполнении каждого вида геодезических съемок записи результатов измерений делают в соответствующих журналах установленной формы. До начала работ страницы журналов пронумеровывают и их число заверяет руководитель работ.
6. В процессе полевых работ страницы с забракованными результатами измерений зачеркивают по диагонали одной чертой, указывают причину брака и номер страницы, содержащей результаты повторных измерений.
7. В каждом журнале на заглавном листе заполняют сведения о геодезическом приборе (марка, номер, средняя квадратическая погрешность измерения), записывают дату и время наблюдений, метеоусловия (погода, видимость и т. п.), фамилии исполнителей, приводят необходимые схемы, формулы и примечания.
8. Журнал должен заполняться таким образом, чтобы другой исполнитель, не участвующий в полевых работах, мог безошибочно выполнить последующую обработку результатов измерений. При заполнении полевых журналов следует придерживаться следующих форм записи:
а) числа в столбцах записываются так, чтобы все цифры соответствующих разрядов располагались одна под другой без смещения.
б) все результаты измерений, выполненных с одинаковой точностью, записывают с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример
356,24 и 205,60 м — правильно,
356,24 и 205,6 м — неправильно;
в) значения минут и секунд при угловых измерениях и вычислениях всегда записывают двузначным числом.

Пример
127°07"05" , а не 127º7"5" ;

г) в числовых значениях результатов измерений записывают такое количество цифр, которое позволяет получить отсчетное устройство соответствующего средства измерений. Например, если длина линии измеряется рулеткой с миллиметровыми делениями и отсчитывание проводится с точностью до 1 мм, то отсчет должен быть записан 27,400 м, а не 27,4 м. Или если угломерный прибор позволяет отсчитывать только целые минуты, то отсчет запишется как 47º00", а не 47º или 47º00"00».

12.5.1. Понятие о правилах геодезических вычислений

К обработке результатов измерений приступают после проверки всех полевых материалов. При этом следует придерживаться выработанных практикой правил и приемов, соблюдение которых облегчает труд вычислителя и позволяет ему рационально использовать вычислительную технику и вспомогательные средства.
1. Перед началом обработки результатов геодезических измерений следует разработать подробную вычислительную схему, в которой указывается последовательность действий, позволяющая получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем.
2. С учетом объема вычислительных работ выбирать наиболее оптимальные средства и способы вычислений, требующие наименьших затрат при обеспечении необходимой точности.
3. Точность результатов вычислений не может быть выше точности измерений. Поэтому заранее следует задаваться достаточной, но не излишней точностью вычислительных действий.
4. При вычислениях нельзя пользоваться черновиками, так как переписывание цифрового материала отнимает много времени и часто сопровождается ошибками.
5. Для записей результатов вычислений рекомендуется использование специальных схем, бланков и ведомостей, определяющих порядок расчетов и обеспечивающих промежуточный и общий контроль.
6. Без контроля вычисление не может считаться законченным. Контроль можно выполнять, используя другой ход (способ) решения задачи либо выполняя повторные вычисления другим исполнителем (в «две руки»).
7. Вычисления всегда заканчиваются определением погрешностей и обязательным их сравнением с допусками, предусматриваемыми соответствующими инструкциями.
8. Особые требования при вычислительных работах предъявляются к аккуратности и четкости записи чисел в вычислительных бланках, поскольку небрежности в записях приводят к ошибкам.
Как и в полевых журналах, при записях столбцов чисел в вычислительных схемах цифры одинаковых разрядов следует располагать одна под другой. При этом дробную часть числа отделяют запятой; многоразрядные числа желательно записывать с интервалами, например: 2 560 129,13. Записи вычислений следует вести только чернилами прямым шрифтом; ошибочные результаты аккуратно перечеркивать и сверху писать исправленные значения.
При обработке материалов измерений следует знать, с какой точностью должны быть получены результаты вычислений, чтобы не оперировать с излишним числом знаков; если окончательный результат вычисления получается с большим числом знаков, чем это необходимо, то производят округление чисел.

12.5.2. Округление чисел

Округлить число до n знаков - значит сохранить в нем первые n значащих цифр.
Значащие цифры числа - это все его цифры от первой слева, отличной от нуля, до последней записанной цифры справа. При этом нули справа не считаются значащими цифрами, если они заменяют неизвестные цифры или поставлены вместо других цифр при округлении данного числа.
Например, число 0,027 имеет две значащие цифры, а число 139,030 - шесть значащих цифр.

При округлении чисел следует придерживаться следующих правил.
1. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя оставляемая цифра сохраняется без изменения.
Например, число 145,873 после округления до пяти значащих цифр будет 145,87.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.
Например, число 73,5672 после округления его до четырех значащих цифр будет 73,57.
3. Если последней цифрой округляемого числа является цифра 5 и она должна быть отброшена, то предшествующую ей цифру в числе увеличивают на единицу только в том случае, если она нечетная (правило четной цифры).
Например, числа 45,175 и 81,325 после округления до 0,01 будут соответственно 45,18 и 81,32.

12.5.3. Графические работы

Ценность графических материалов (планов, карт и профилей), являющихся конечным результатом геодезических съемок, в значительной мере определяется не только точностью полевых измерений и правильностью вычислительной их обработки, но и качеством графического исполнения. Графические работы должны выполняться с помощью тщательно проверенных чертежных инструментов: линеек, треугольников, геодезических транспортиров, циркулей-измерителей, остро отточенных карандашей (Т и ТМ) и т. п. Большое влияние на качество и производительность чертежных работ оказывает организация рабочего места. Чертежные работы должны выполняться на листах качественной чертежной бумаги, закрепленных на ровном столе либо на специальной чертежной доске. Составленный карандашный оригинал графического документа после тщательной проверки и корректировки оформляют в туши в соответствии с установленными условными знаками.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что значит выражение: «измерить какую-либо величину»?
2. Как классифицируют измерения?
3. Как классифицируют измерительные приборы?
4. Как классифицируют результаты измерений по точности?
5. Какие измерения называют равноточными?
6. Что означают понятия: «необходимое и избыточное число измерений»?
7. Как классифицируют ошибки измерения?
8. Чем обусловлены систематические погрешности?
9. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
10. Что называют абсолютной (истинной) погрешностью?
11. Что называют относительной погрешностью?
12. Что называют в теории погрешностей средним арифметическим?
13. Что называют в теории погрешностей средней квадратической погрешностью?
14. Чему равна предельная средняя квадратическая погрешность?
15. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений и средняя квадратическая погрешность одного слагаемого?
16. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность арифметического среднего и средняя квадратическая погрешность одного измерения?
17. Что показывает средняя квадратическая погрешность арифметического среднего?
18. Какай параметр принимают в качестве основы оценки весовых значений?
19. Как соотносятся вес арифметического среднего и вес единичного измерения?
20. Какие правила приняты в геодезии для ведения полевых журналов?
21. Перечислите основные правила геодезических вычислений.
22. Округлите до 0,01 числа 31,185 и 46,575.
23. Перечислите основные правила выполнения графических работ.

Погрешность – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинное значение ФВ может быть установлено лишь путем проведения бесконечного числа измерений, что невозможно реализовать на практике. Истинное значение измеряемой величины является недостижимым, а для анализа погрешностей в качестве значения ближайшего к истинному, используют действительное значение измеряемой величины, значение получают с использованием самых совершенных методом измерений и самых высокоточных средств измерений. Таким образом, погрешность измерений представляет собой отклонение от действительного значения ∆=Xд – Хизм

Погрешность сопровождает все измерения и связана с несовершенством метода, средства измерения, условия измерения (когда они отличаются от н.у.).

В зависимости от принципов действия прибора те или иные факторы оказывают влияние.

Различают погрешности СИ и результата измерений за счет влияния внешних условий, особенностей измеряемой величины, несовершенства СИ.

Погрешность результата измерений включает в себя погрешность и средства измерений, также влияние условий проведения измерений, свойств объекта и измеряемой величины ∆ри=∆си+∆ву+∆св.о+∆сив.

Классификация погрешностей:

1) По способу выражения:

a) Абсолютная – погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины ∆=Хд-Хизм

b) Относительная – погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности к результате измерений или действительному значению измеряемой величины γотн=(∆/Xд)* 100 .

c) Приведенная – это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условию, принятому значению величины постоянному во всем диапазоне измерений (или части диапазона) γприв=(∆/Xнорм)*100, где Хнорм – нормирующее значение, установленное для приведенных значений. Выбор Хнорм производится в соответствии с ГОСТом 8.009-84. Это может быть верхний предел средства измерений, диапазон измерений, длина шкалы и т.л. Для множества средств измерений по приведенной погрешности устанавливают класс точности. Приведенная погрешность вводится потому что относительная характеризует погрешность только в данной точке шкалы и зависит от значения измеряемой величины.

2) По причинам и условиям возникновения:

a) Основная - это погрешность средств измерения, которое находятся в нормальных условиях эксплуатации, возникает из-за неидеальности функции преобразования и вообще неидеальности свойств средств измерений и отражает отличие действительной функции преобразования средств измерения в н.у. от номинальной нормированной документами на средства измерений (стандарты, тех. условия). Нормативными документами предусматриваются следующие н.у.:

• Температура окружающей среды (20±5)°С;
• Относительная влажность (65±15)%;
• напряжение питания сети (220±4,4)В;
• частота питания сети (50±1)Гц;
• отсутствие эл. и магн. полей;
• положение прибора горизонтальное, с отклонением ±2°.

Рабочие условия измерений – это условия, при которых значения влияющих величин находятся в пределах рабочих областей, для которых нормируют дополнительную погрешность или изменение показаний СИ.

Например, для конденсаторов нормируют дополнительную погрешность, связанную с отклонением температуры от нормальной; для амперметра отклонение частоты переменного тока 50 Гц.

b) Дополнительная – это составляющая погрешности средств измерений, возникающая дополнительно к основной, вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормы её значения или вследствие её выхода за пределы нормированной области значений. Обычно нормируется наибольшее значение дополнительной погрешности.

Предел допускаемой основной погрешности – наиб. основная погрешность средств измерения, при которой СИ может быть годным и допущено к применению по тех. условиям.

Предел допускаемой дополнительной погрешности – наибольшая дополнительная погрешность, при которой СИ допущено к применению.

Например, для прибора с КТ 1.0 приведенная дополнительная погрешность по температуре не должна превышать ±1% при изменении температуры на каждые 10°.

Пределы, допустимой основной и дополнительной погрешности могут быть выражены в форме абсолютной, относительной или приведенной погрешности.

Для того чтобы иметь возможность выбирать СИ путем сравнения их характеристик вводят обобщенную характеристику данного типа СИ – класс точности (КТ) . Обычно это предел допускаемых основной и дополнительной погрешностей. КТ позволяет судить в каких пределах находится погрешность СИ одного типа, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого из этих СИ, т.к. погрешность зависит также от метода, условий измерений и т.д. Это нужно учитывать при выборе СИ в зависимости от заданной точности.

Значения КТ устанавливаются в стандартах или в технических условиях или других нормативных документах и выбираются в соответствии с ГОСТ 8.401-80 из стандартного ряда значений. Например, для электромеханических приборов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 2,5; 4.0; 6.0.

Зная КТ СИ можно найти максимально допустимое значение абсолютной погрешности для всех точек диапазона измерений из формулы для приведенной погрешности: ∆maxдоп=(γприв*Xнорм)/100.

КТ обычно наносят на шкалу прибора в разных формах, например,(2.5) (в кружочке).

3) По характеру изменений:

a) систематические – составляющая погрешности, остающаяся постоянной или изменяющаяся по известной закономерности во все время проведения измерений. Может быть исключена из результатов измерения путем регулировки или введением поправок. К ним относят: методические П, инструментальные П, субъективные П и т д. Такое качество СИ, когда систематическая погрешность близка к нуля называют правильностью.

b) случайные – это составляющие погрешности, изменяющиеся случайным образом, причины нельзя точно указать, а значит, и устранить нельзя. Приводят к неоднозначности показаний. Уменьшение возможно при многократных измерениях и последующей статистической обработке результатов. Т.е. усредненный результат многократных измерений ближе к действительному значению, чем результат одного измерения. Качество, которое характеризуется близостью к нулю случайной составляющей погрешности называется сходимостью показаний этого прибора.

c) промахи – грубые погрешности, связанные с ошибками оператора или неучтенными внешними воздействиями. Их обычно исключают из результатов измерений, не учитывают при обработке результатов.

4) По зависимости от измеряемой величины:

a) Аддитивные погрешности (не зависит от измеряемой величины)

b) Мультипликативные погрешности (пропорционально значению измеряемой величины).

Мультипликативная погрешность по-другому называется погрешностью чувствительности.

Аддитивная погрешность обычно возникает из-за шумов, наводок, вибраций, трения в опорах. Пример: погрешность нуля и погрешность дискретности (квантования).

Мультипликативная погрешность вызывается погрешностью регулировки отдельных элементов измерительных приборов. Например, из-за старения (погрешность чувствительности СИ).

В зависимости от того, какая погрешность прибора является существенной, нормируют метрологические характеристики.

Если существенна аддитивная погрешность, то предел допустимой основной погрешности нормируют в виде приведенной погрешности.

Если существенна мультипликативная погрешность, то предел допустимой основной погрешности определяют по формуле относительной погрешности.

Тогда относительная суммарная погрешность: γотн=Δ/Х= γадд + γмульт= γадд+ γмульт+ γадд*Xнорм/Х– γадд=±, где с= γадд+ γмульт; d= γадд.

Это способ нормирования метрологических характеристик когда аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности соизмеримы, т.е. предел относительной допустимой основной погрешности выражается в двучленной формуле соответственно и обозначение КТ состоит из двух чисел, выражающих c и d в %, разделенных косой чертой. Например, 0.02/0,01. Это удобно, т.к. число с – это относит.погрешность СИ в н.у. Второй член формулы характеризует увеличение относительной погрешности измерения при увеличении величины Х, т.е. характеризует влияние аддитивной составляющей погрешности.

5) В зависимости от влияния характера изменения измеряемой величины :

a) Статическая – погрешность СИ при измерении неизменной или медленно изменяющейся величины.

b) Динамическая – погрешность СИ, возникающая при измерении быстро меняющейся во времени ФВ. Динамическая погрешность является следствием инерционности прибора.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины. Чем меньше погрешность, тем выше точность. Виды погрешностей представлены на рис. 11.

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. К систематическим относятся, например, погрешности от несоответствия действительного значения меры, с помощью которой выполнялись измерения, ее номинальному значению (погрешности показания прибора при неправильной градуировке шкалы).

Систематические погрешности могут быть изучены опытным путем и исключены из результатов измерений путем введения соответствующих поправок.

Поправка – значение величины, одноименной с измеряемой, прибавляемое к полученному при измерениях значению с целью исключения систематической погрешности.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Например, погрешности вследствие вариации показаний измерительного прибора, погрешности округления или отсчитывания показаний прибора, колебаний температуры в процессе измерения и т.д. Их нельзя установить заранее, но их влияние можно уменьшить путем многократных повторных измерений одной величины и обработкой опытных данных на основе теории вероятности и математической статистики.

К грубым погрешностям (промахам) относятся случайные погрешности, значительно превосходящие погрешности, ожидаемые при данных условиях измерения. Например, неправильный отсчет по шкале прибора, неправильная установка измеряемой детали в процессе измерения и т.д. Грубые погрешности не принимаются во внимание и исключаются из результатов измерения, т.к. являются результатом просчета.

Рис.11. Классификация погрешностей

Абсолютная погрешность – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Абсолютную погрешность определяют по формуле.

= изм. – , (1.5)

где изм. - измеренное значение; - истинное (действительное) значение измеряемой величины.

Относительная погрешность измерения – отношение абсолютной погрешности к истинному значению физической величины (ФВ):

= или 100% (1.6)

На практике вместо истинного значения ФВ используют действительное значение ФВ, под которым подразумевают значение, отличающееся от истинного так мало, что для данной конкретной цели этим отличием можно пренебречь.

Приведенная погрешность – определяется как отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению измеряемой физической величины, то есть:

, (1.7)

где X N – нормирующее значение измеряемой величины.

Нормирующее значение X N выбирают в зависимости от вида и характера шкалы прибора. Это значение принимают равным:

Конечному значению рабочей части шкалы. X N = X К , если нулевая отметка – на краю или вне рабочей части шкалы (равномерная шкала рис.12, а - X N = 50; рис. 12, б - X N = 55; степенная шкала - X N = 4 на рис.12, е );

Сумме конечных значений шкалы (без учета знака), если нулевая отметка – внутри шкалы (рис.12, в - X N = 20 + 20 = 40; рис.12, г - X N = 20 + 40 = 60);

Длине шкалы, если она существенно неравномерна (рис.12, д ). В этом случае, поскольку длина выражается в миллиметрах, то абсолютная погрешность выражается также в миллиметрах.

Рис. 12. Виды шкал

Погрешность измерения является результатом наложения элементарных ошибок, вызываемых различными причинами. Рассмотрим отдельные составляющие суммарной погрешности измерений.

Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерения, например, неправильно выбранной схемой базирования (установки) изделия, неправильно выбранной последовательностью проведения измерений и т.п. Примерами методической погрешности являются:

- Погрешность отсчитывания – возникает из-за недостаточно точного отсчитывания показаний прибора и зависит от индивидуальных способностей наблюдателя.

- Погрешность интерполяции при отсчитывании – происходит от недостаточно точной оценки на глаз доли деления шкалы, соответствующей положению указателя.

- Погрешность от параллакса возникает вследствие визирования (наблюдения) стрелки, расположенной на некотором расстоянии от поверхности шкалы в направлении не перпендикулярном поверхности шкалы (рис. 13).

- Погрешность от измерительного усилия возникают из-за контактных деформаций поверхностей в месте соприкосновения поверхностей измерительного средства и изделия; тонкостенных деталей; упругих деформаций установочного оборудования, например, скоб, стоек или штативов.

Рис.13. Схема возникновения погрешности от параллакса.

Погрешность от параллакса n прямопропорциональна расстоянию h указателя 1 от шкалы 2 и тангенсу угла φ линии зрения наблюдателя к поверхности шкалы n = h × tg φ (рис. 13).

Инструментальная погрешность – определяется погрешностью применяемых средств измерения, т.е. качеством их изготовления. Примером инструментальной погрешности является погрешность от перекоса.

Погрешность от перекоса возникает в приборах, в конструкции которых не соблюден принцип Аббе, состоящий в том, что линия измерения должная являться продолжением линии шкалы, например перекос рамки штангенциркуля, изменяет расстояние между губками 1 и 2 (рис. 14).

Погрешность определения измеряемого размера из-за перекоса пер. = l × cosφ . При выполнении принципа Аббе l × cosφ = 0 соответственно пер . = 0.

Субъективные погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний и неопытности оператора.

Рассмотренные выше разновидности инструментальной, методической и субъективной погрешностей вызывают появление систематических и случайных погрешностей, из которых складывается суммарная погрешность измерения. Они также могут приводить к грубым погрешностям измерений. В суммарную погрешность измерения могут входить погрешности, обусловленные влиянием условий измерений. К ним относятся основные и дополнительные погрешности.

Рис.14. Погрешность измерения от перекоса губок штангенциркуля.

Основная погрешность – это погрешность средства измерения при нормальных условиях эксплуатации. Как правило, нормальными условиями эксплуатации являются: температура 293 ± 5 К или 20 ± 5°С, относительная влажность воздуха 65 ± 15% при 20°С, напряжение в сети питания 220 В ± 10% с частотой 50 Гц ± 1%, атмосферное давление от 97,4 до 104 КПа, отсутствие электрических и магнитных полей.

В рабочих условиях, зачастую отличающихся от нормальных более широким диапазоном влияющих величин, появляется дополнительная погрешность средств измерений.

Дополнительная погрешность возникает в результате нестабильности режима работы объекта, электромагнитных наводок, колебания параметров источников питания, наличия влаги, ударов и вибраций, температуры и т.п.

Например, отклонение температуры от нормального значения +20°С приводит к изменению длины деталей измерительных средств и изделий. Если невозможно выполнить требования к нормальным условиям, то в результат линейных измерений следует вводить температурную поправку DХ t , определяемую по формуле:

DХ t = Х ИЗМ .. [α 1 (t 1 -20)- α 2 (t 2 -20)] (1.8)

где Х ИЗМ . - измеряемый размер; α 1 и α 2 - коэффициенты линейного расширения материалов измерительного средства и изделия; t 1 и t 2 - температуры измерительных средств и изделия.

Дополнительную погрешность нормируют в виде коэффициента, указывающего «на сколько» или «во сколько» изменяется погрешность при отклонении номинального значения. Например, указание, что температурная погрешность вольтметра составляет ±1% на 10°С, означает, что при изменении среды на каждые 10°С добавляется дополнительная погрешность 1%.

Таким образом, повышение точности измерения размеров добиваются за счет уменьшения влияния отдельных погрешностей на результат измерения. Например, нужно выбирать наиболее точные приборы, устанавливать их на ноль (размер) по концевым мерам длины высокого разряда, поручать измерения опытным специалистам и т.д.

Статические погрешности являются постоянными, не изменяющимися в процессе измерения, например неправильная установка начала отсчета, неправильная настройка СИ.

Динамические погрешности являются переменными в процессе измерения; они могут монотонно убывать, возрастать или изменяться периодически.

На каждое средство измерений погрешность приводится только в какой-то одной форме.

Если погрешность СИ при неизменных внешних условиях постоянна во всем диапазоне измерений (задается одним числом), то

D = ± а . (1.9)

Если погрешность меняется в указанном диапазоне (задается линейной зависимостью), то

D = ± (а + bx) (1.10)

При D = ± а погрешность называется аддитивной , а при D =± (а+bx) – мультипликативной .

Если погрешность выражается в виде функции D = f(x) , то она называется нелинейной .

При измерениях может быть несколько источников погрешностей, поэтому важным является вопрос о правилах нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. В теории вероятностей показывается, что если погрешность измерений вызвана несколькими независимыми друг от друга случайными причинами, то полная абсолютная погрешность Δх измеряемой величины определяется путем суммирования квадратов складываемых погрешностей по формуле

где ∆х сл – случайная погрешность (2) прямых измерений, ∆х пр – приборная погрешность.

Полная относительная погрешность измерения

, (7)

где ε сл , ε пр – случайная и приборная относительные погрешности.

При выполнении расчетов для всех составляющих полной погрешности выбирается одинаковое значение доверительной вероятности. Такая же вероятность будет и для полной абсолютной погрешности Δх . Из простых расчетов по формуле (7) следует, что если какая-либо из складываемых погрешностей в три и более раза меньше другой, то ее вклад в полную погрешность оказывается незначительным и такой погрешностью можно пренебречь.

Иногда при многократных измерениях получается одно и то же значение измеряемой физической величины. В этом случае случайная погрешность не превышает наименьшего значения, которое может быть измерено данным прибором, а именно – цены деления прибора, т.е. полная погрешность целиком определяется допустимой приборной погрешностью.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций.

1. Вычисляется среднее арифметическое значение из n результатов измерений

2. Определяются случайные отклонения

.

3. Предварительно определив по табл. 1 коэффициент Стьюдента для числа измерений n и доверительной вероятности Р = 0,95, рассчитывается случайная погрешность

.

4. Определяется приборная погрешность

.

5. Находится полная абсолютная погрешность результата измерений

.

6. Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

7. Записывается окончательный результат в виде:

, .

Поскольку значения физических величин, полученные в результате измерений и обработки результатов измерений, имеют погрешности, они являются приближенными числами. Перед окончательной записью результата полученные при расчете числа следует округлить, т. е. уменьшить количество их значащих цифр. Так как найденные значения погрешностей также являются числами приближенными, то в соответствии с точностью методов обработки результатов измерений абсолютная погрешность определяется не более чем до двух первых значащих цифр. При простейших методах обработки в вычисленной абсолютной погрешности вторая цифра, как правило, неверна. Поэтому абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. Например, ΔL = 0,467569 мм ≈ 0,5 мм;
ΔR = 7,679 Ом ≈ 8 Ом.

Исключением из этого правила являются погрешности, первая цифра в значении которых единица. Тогда во избежание грубой ошибки при округлении в абсолютной погрешности следует оставить две значащие цифры, а в относительной – одну. Например, ΔL = 0,167569 мм ≈ 0,17 мм; ΔR = 1,3791 Ом ≈ 1,4 Ом.

Знание погрешности измерений позволяет правильно записать окончательный ответ, оставив в нем только верные и одну или две сомнительные цифры. Последняя цифра результата и последняя значащая цифра его абсолютной погрешности должны принадлежать к одному и тому же десятичному разряду.

Окончательный результат измерений записывается вместе с погрешностью и доверительной вероятностью и должен иметь, например, следующий вид:

L = (1,12 ± 0,17) мм, Р = 0,95

при округлении погрешности до двух цифр, и

L = (1,12 ± 0,04) мм, Р = 0,95

при округлении погрешности до одной значащей цифры.